Ууу, я нашел сообщение на github, которое решило мою проблему.
После того, как Стив К. указал, что на самом деле это была не проблема с DNS, а проблема с подключением, я смог найти сообщение на github в нем описано, как устранить эту проблему.
По-видимому, сетевой мост docker0 был отключен. Установка bridge-utils и выполнение следующего привели мой докер в рабочее состояние:
apt-get install bridge-utilspkill dockeriptables -t nat -Fifconfig docker0 downbrctl delbr docker0service docker restart